domingo, 12 de octubre de 2014

Tipos de rectas / Recta de Euler

Paralelos


Son dos rectas sin punto común y en el mismo plano.                                            
  
Llámese también dos rectas paralelas  alas que jamás se cortan por mucho que se prolonguen. Las  Paralelas se representan con él símbolo ll. Así AB ll CD se lee: AB  es paralela a CD. Como se observa en la siguiente figura.


Perpandiculares

Es una recta perpendicular a otra o las dos son perpendiculares entre si, cuando los ángulos  que forman la  una con la otra son rectos (90º) ,como se muestra  en el siguiente grafico AC Y BO  son rectas perpendiculares entre so . El punto 0 es el pie de la perpendicular  BO. También, se dice que dos rectas son perpendiculares cuando se inclina a un lado más que a otro dela otra recta.


RECTAS OBLICUAS
Dos rectas son oblicuas cuando la una se inclina a un lado mas que a otra recta.
yz  y  AB   son dos rectas oblicuas 




La recta de Euler 
La recta de Euler de un triángulo es aquella que contiene el ortocentro, el circuncentro y el baricentro del mismo.

1._Se saca la altura del triangulo  partiendo de un vértice y se prolonga el que se encuentra en esa dirección:



2._se saca el centro del triangulo dando ángulos de 90º como base con líneas llamadas mediatrices y el punto donde se juntan se llama circuncentro


3._se parte de el vértice al lado opuesto donde se encuentra y ala línea que se utiliza se le da el nombre de medianas y donde se intersectan se llama baricentro.
        


       

  4._ al final se traza una línea perpendicular  por donde  se formaron el ortocentro el baricentro y el circucentro y a esta line se le da el nombre de recta de Euler


Elaborado: Cesar Leonel Pineda Hernandez

Teorema de Pitágoras / Sistema sexagesimal

Teorema de Pitágoras

(Solución de triángulos rectángulos) 

Concepto: este método sirve para resolver el valor de los catetos o hipotenusa de los triángulos rectángulos, estos se distinguen por tener un ángulo de 90o


La Formula Se interpreta como: 
C2= A2 +B

EJEMPLOS:
Para resolver un triángulo rectángulo con el teorema de Pitágoras se debe de identificar el cateto opuesto y adyacente, la hipotenusa se encuentra enfrente del ángulo de 90o. 




Sistema sexagesimal
Concepto: es el ángulo de un grado, es decir    1/360

SOLUCION:
El grado es igual que 1/360 de revolución = 1o
El minuto es igual que 1/60 de grado = 1´
El segundo es igual que 1/60 de minuto = 1”

EJEMPLOS
148o     22”    56´
148o   22”
56´/60= .933  
= 148.382

42º   136”  10´
10/60= .1666
=44.269 


Elaboro: Claudia Jazmín Conzuelo Coyote 

Sistema decimal (conversión a sistema sexagesimal)

Sistema decimal (conversión a sistema sexagesimal)

El sistema sexagesimal: el ángulo unidad es el ángulo de un grado; es decir es (1/360)  parte de la circunferencia.

Cada división de la circunferencia se llama grado y se respeta por (°). (1°) Cada grado se considera divido en 60 partes iguales denominadas segundos (‘) (1’) por lo tanto 1° es igual a 360 segundos.  
El sistema cíclico: el ángulo de la unidad llamado unidad cíclica  o medida circular es el ángulo central de una circunferencia cualquiera cuyos lados interceptan a un arco de longitud igual que la de su radio  de ahí el nombre de radiante o radian que se le ha dado a la unidad cíclica. 
Para representar, por un ejemplo un ángulo ABC de 48 grados, 38 minutos, 17 segundos

Es de la forma 45°,38’, 17¨  ahora también, puede decirse que un ángulo de 1 grado  se define como un ángulo que mide (1/360)  de revolución, esto es que una revolución es igual que 360°; también se puede decir que una vuelta es igual que 360°

El grado es igual que (1/360) de revolución es igual a  1°
El minuto es igual que (1/360) de grado igual a 1’
El segundo el igual que (1/60) de un minuto es igual a 1¨
Conversión de grados, segundos y números decimales

Ejemplo
Convierte 50°6’21¨ a decimal en grados 
Puesto que 1’ = (1/60) ° y 1’ = (1/60)’ = ((1/60) (1/60)) °’ hacemos la conversión de la siguiente manera

50°6’21¨ = (50°+ 6 (1/60)° + 21 ((1/60)(1/60)°)
50° 6’ 21¨= 50° + 0.1°+ 0.005833°
50° 6’ 21¨ = 50.105833°
 Semejanza entre triángulos (equivalencias)

Los triángulos ABC y A’B’C’  y son semejantes si tienen la misma forma pero no el mismo tamaño 









Los lados homólogos son aquellos cuyos ángulos adyacentes son iguales; esto es: a con a’ b con b’  y c con c’  como gráficamente se observa  para indicar que dos ángulos son semejantes se expresa de la siguiente manera 

Triángulos ABC ~A’B’C’
 
Donde el símbolo (~) se lee es semejante
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales  esto es:
A=A’
B=B’
C=C’

Dos ángulos son semejantes si la razón  de cada par de los lados homólogos es constante; es decir si sus lados son respectivamente proporcionales

A/A’=B/B’=C/C’

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos homólogos 

C=C’ Y A=A’; entonces el triangulo ABC~A’B’C’


Dos triángulos son semejantes si sus dos lados son proporcionales

Dos triángulos son semejantes  si tienen un ángulo igual y los 2 lados que los forman son proporcionales.




Elaboro: Jorge Jiménez Pérez  


Signo de los ángulos (sentido) / Circulo trigonométrico

Signo de los ángulos (sentido)

Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice.

Los ángulos se miden a partir de una semirrecta de referencia, así se miden en sentido de giro de las agujas del reloj son ángulos negativos, por el contario, si se miden por el sentido contrario al de las agujas del reloj son positivos.






Circulo trigonométrico

También conocido como gonio métrico, es aquel círculo cuyo centro coincide con el origen de coordenadas del plano cartesiano y cuyo radio mide la unidad. El círculo trigonométrico tiene la ventaja de ser una herramienta práctica en el manejo de los conceptos de trigonometría, pero al mismo tiempo es un apoyo teórico, pues ayuda a fundamentar y tener una idea precisa y formal de las funciones trigonométricas. Atreves del círculo trigonométrico se puede obtener de forma manual o analítica el valor aproximado de las razones trigonométricas para un ángulo determinado si se dispone de los instrumentos geométricos necesarios.




Primer cuadrante
Parámetro Signo Seno + Coseno + Tangente + Cotangente +
En el primer cuadrante (I), con el aumento del [ángulo] α, disminuye el cos α y la cot α, mientras que aumenta la tang α y el sen α, hasta alcanzar su máximo o mínimo valor a 90° (π/2).

Segundo cuadrante
Parámetro Signo Seno + Coseno - Tangente - Cotangente -
En el segundo cuadrante (II), con el aumento del ángulo α, disminuyen el sen α y el cos α, por lo que lo hacen también tang α y cot α, alcanzando su mínimo valor a 180° (π).

Tercer cuadrante
Parámetro Signo Seno - Coseno - Tangente + Cotangente +
En el tercer cuadrante (III), con el aumento del ángulo α, disminuyen el sen α y el cos α, la tang α aumenta su valor, mientras que la cot α disminuye dado que (a partir de que seno y el coseno son negativos y la relación existente entre ellos) hasta alcanzar su mínimo o máximo valor a 270° (3π/2).

Cuarto cuadrante
Parámetro Signo Seno - Coseno + Tangente - Cotangente -
En el cuarto cuadrante (IV), con el aumento del ángulo α, disminuye el sen α, mientras que aumenta el cos α por lo que aumenta la cot α, mientras que disminuye la tang α y el, hasta alcanzar su máximo y mínimo valor a 360° (2π).



Elaboro: Gustavo Vidal Clemente Vega


Rectas y puntos notables en el triángulo / Sistema sexagesimal

Rectas y puntos notables en  el triángulo.

Incentro: Indica  que un  círculo  debe  de  ir  adentro del triángulo.
Bisectriz: En  el  triángulo debe  de  ir  una  línea que divide a  un ángulo exactamente a la mitad.
Como por  ejemplo:

Mediatriz: es  una  recta  perpendicular que  traza  el  punto medio de cada lado del  triángulo
Circunsentro: las tres  mediatrices de  un  triángulo se  cortan en  un punto llamado Circunsentro; el  cual  se localiza  en  el centro de   la  circunferencia  y  del  triángulo.
Como  por  ejemplo:

Mediana : es  una  línea que  parte un vértice y  se  va  al  punto medio  del lado  opuesto.
Baricentro : es  el  centro  de  la gravedad del  triángulo  en  donde  se  cortan las  medianas.
Como por  ejemplo:

Ortocentro : la  altura  de  un  triángulo  se  corta  en  este  punto llamado ortocentro.


Sistema sexagesimal 

Cada división  de la  circunferencia se llama  grado y  es representado por (°)Y cada  grado  se  debe  de  dividir entre 60 ;cada minuto es  representado en (“) y  este  también se divide  entre  60 por  ultimo los  segundos  se  representan  en (‘) estos   se  suman  con  los  resultados anteriores.

Por  ejemplo:

S.S. -ñS.D           ¸60
20° 49” 30’= 20.825
30¸60=0.5+49+0.5=49.5¸60
=0.825+20= 20.825
=20.825° 



Elaboro: María Elena Cruz  Huerta

Pares de ángulos / Razones trigonométricas

Pares de ángulos
          
           A)   ángulo adyacente
Son aquellos formados de manera que un lado es común a los otros dos que permanecen a la misma recta.

     B) Ángulos complementarios:
Son dos ángulos complementarios cuya suma es un ángulo recto.


   C) Ángulos supletorios:
Dos ángulos son suplementarios y cada uno es el suplemento del otro cuando su suma es de 180 grados


   D) ángulos conjugados:
Son conjugados cuando su suma es de 360 grados, o bien, igual a un ángulo llamado perigono.




    E) ángulos opuestos por el vértice:
Estos ángulos son aquellos cuyos lados de uno son las prolongaciones del otro.


     F) ángulos consecutivos:
Son aquellos que tienen un lado común que separa a los otros dos.




Razones trigonométricas
Razón trigonométrica para el ángulo agudo:
Lo primero es formar un ángulo agudo para después formar un rectángulo trazando una perpendicular a un eje.

Razón trigonométrica de un ángulo en posición normal:
Dos cantidades son reciprocas cuando su producto es la unidad
Esta razón trigonométrica son aquellas cuyo resultado de su producto es la unidad



Razón trigonométrica complementaria:
Dos ángulos son complementarios cuando suman 90 grados




Elaboro: Ismael Clemente Lugo


viernes, 10 de octubre de 2014

Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante / Conversión de grados-radianes

Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante

Internos= ángulos; B, C, F, G 
Externos= ángulos; A, D, E, H
Alternos internos= ángulos; B, G, C, F
Alternos externos= ángulos; A, H, D, E
Correspondientes= ángulos; (A,C) (B,D) (E,G) (F,H)

Ángulos conjugados o colaterales: 
Internos= (A,C) y (F,G)
Externos= (A,D) y (E,H) 

Conversión de grados-radianes 

Un radián equivale al ángulo definido por el arco de una circunferencia, siendo la longitud de ese arco igual al radio.

Para pasar de grados a radianes y viceversa, utilizamos una regla de tres simple. Tomamos por ejemplo 180° como π Radianes y luego calculamos el número.




1 rad= 180°    rad     =   grados
               π


1°= π rad   grados    =  rad
         180°



Ejemplos:
(150) 1°= π rad (150)
                  180°
150° = (0.0174) (150) rad

150°= 2.6179 rad 



(3) rad = 180° (3)
                  π
3 rad= 180° (3)
               π
3rad= 161.8873°

3 rad= 57.2957° (3) 




Elaboro: Ricardo Clemente Villalba